SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
QUẢNG NAM NĂM HỌC 2010 - 2011

Môn thi : TOÁN
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 01/4/2011

Câu 1 (3,0 điểm):
Rút gọn biểu thức A =

Cho x =
. Tính B = x2 – y2

Câu 2 (4,0 điểm):
a) Giải phương trình:

b) Giải hệ phương trình:

Câu 3 (3,0 điểm):
Cho phương trình: x4 + x2 + 2mx + m2 + 2m + 1 = 0
Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình đã cho đạt giá trị lớn nhất
Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình đã cho đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 4 (3,0 điểm):
Chứng minh
có giá trị nguyên với mọi m thuộc Z

Câu 5 (3,0 điểm):
Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm M sao cho
, trên BC lấy điểm N sao cho
. AN và BM cắt nhau tại I. So sánh diện tích
AIM và diện tích
BIN

Câu 6 (4,0 điểm):
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên nửa đường tròn lấy điểm C (C khác A ). Tia phân giác góc CAB cắt BC tại E và cắt nửa đường tròn tại D (D khác A ).
a) Chứng minh AD.AE + BC.BE bằng một đại lượng không đổi khi C chạy trên nửa đường tròn
b) Gọi M là trung điểm của BC. Tia OM cắt nửa đường tròn tại N.
Chứng minh DE > MN

Hết
(Đề ghi lại từ HS độ chính xác chưa cao mong quí Thầy Cô thông cảm nếu có sai sót )


MỘT VÀI CÁCH GIẢI ĐỀ THI HỌC GIỎI TỈNH
Năm học 2010 -2011
Câu 1 (3,0 điểm):
a) Rút gọn biểu thức A =
=
=
=
=
= 0
Cách khác:

= 0
Vậy A = 0
b) x =
=
=


=
=

Ta có B = x2 – y2 =
–
=
=
= – 4.2 = –8
Câu 2 (4,0 điểm):
a) Giải phương trình:
<=>

<=>

Ta có (x+2)2
0 và
với mọi x
Nên
khi x + 2 =0 và

<=> x = –2 và 3x + 7 = 1 => x = –2
Vậy nghiệm số của phương trình là x = –2
b) Giải hệ phương trình:
<=>
<=>
<=>



hoặc

Ta có phương trình x2 – 2x + 5 = 0 vô nghiệm, nên hệ phương trình (1) vô nghiệm
Vậy nghiệm số của phương trình đã cho là (x; y ) = (2; 0 ) ; (0; 2 )

Câu 3 (3,0 điểm):
Giả sử x0 là một nghiệm của phương trình đã cho. Vậy ta có:
x04 + 2x02 +2x0m + m2 + 2m + 1 = 0 <=> m2 + 2(x0 + 1)m + x04 + 2x02 + 1= 0 (1)
m xác định khi
của phương trình (1) lớn hơn hoặc bằng 0
<=> (x0 + 1)2 – x04 – 2x02 – 1
0 <=>(x0 + 1)2 – (x02 + 1)2
0
<=> (x0 + 1 – x02 – 1)(x0 + 1 + x02 + 1) <=> x0(1 – x0)(x02 +x0 + 2)
0
<=> x0(1 – x0)
0 (Vì x02 +x0 + 2
0 ) <=> 0
x0
1
=> giá trị nhỏ nhất của nghiệm là x0 = 0 => m = –1
và giá trị lớn nhất của nghiệm là x0 = 1 => m = –2

Câu 4 (3,0 điểm):
Chứng minh
có giá trị nguyên với mọi n thuộc Z

Ta có
=
=

Ta có n5 – 5n3 + 4n = n(n4 – 5n + 4 ) = n(n2 – 4)(n2 – 1) = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2)
Ta có (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2)
3 (Vì tích của 5 số nguyên liên tiếp ) (1 )
(n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2)
5 (Vì tích của 5 số nguyên liên tiếp ) (2 )
(n